Отношения и пропорции

Отношение двух чисел

Отношение числа a к числу b записывается a:b (или дробью a/b) и показывает, во сколько раз a больше b или какую часть a составляет от b.

Пример: в классе 12 мальчиков и 18 девочек. Отношение мальчиков к девочкам: 12:18 = 2:3 (сократили на 6) — это значит, на каждые 2 мальчика приходится 3 девочки.

Пример: отношение 15 к 5 равно 15:5 = 3:1 — число 15 в 3 раза больше числа 5.

Отношение, как и дробь, можно сокращать: 20:4 = 5:1 (разделили обе части на 4).

Пропорция и её основное свойство

Пропорция — это равенство двух отношений: a:b = c:d. Числа a и d называют крайними членами, b и c — средними членами. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть a × d = b × c.

Пример: проверим пропорцию 4:6 = 10:15. Крайние члены — 4 и 15, средние — 6 и 10. 4×15=60, 6×10=60. Равны, значит пропорция верна.

Пример: проверим пропорцию 3:5 = 9:15. 3×15=45, 5×9=45. Равны, значит пропорция верна.

Нахождение неизвестного члена пропорции

Если один член пропорции неизвестен, его находят делением произведения крайних (или средних) членов на известный оставшийся член.

Пример: реши пропорцию x:8 = 6:16. По основному свойству: x×16 = 8×6 = 48. Значит x = 48÷16 = 3.

Пример: реши пропорцию 5:x = 15:9. Крест-накрест: 5×9 = x×15, то есть 45 = 15×x. Значит x = 45÷15 = 3.

Пример: реши пропорцию 7:x = 21:9. 7×9 = 21×x, то есть 63 = 21×x. Значит x = 63÷21 = 3.

Мини-практика

1. Найди отношение 20 к 4 — 5:1 (20÷4=5, 4÷4=1).
2. Проверь пропорцию 3:5 = 9:15 — верна, так как 3×15=45 и 5×9=45.
3. Реши пропорцию x:4 = 9:12 — x×12=4×9=36, x=3.
4. Реши пропорцию 7:x = 21:9 — 7×9=63=21×x, x=3.
5. Найди отношение 15 к 5 — 3:1 (15 в 3 раза больше 5).