Центральная симметрия

Определение

Точки A и A′ называются симметричными относительно точки O (центра симметрии), если точка O — середина отрезка AA′.

Это значит: точки A, O, A′ лежат на одной прямой, и расстояние от O до A равно расстоянию от O до A′ (AO = OA′).

Пример: точка A находится в 5 см от центра O. Тогда симметричная ей точка A′ находится на той же прямой, проходящей через O, по другую сторону от O, тоже в 5 см от O — то есть на расстоянии 10 см от A.

Построение симметричной точки

1. Проводим прямую через точку A и центр O.
2. Измеряем расстояние AO.
3. На продолжении этой прямой за точку O откладываем такое же расстояние OA′ = AO — получаем точку A′.

Отличие от осевой симметрии

• При осевой симметрии точки симметричны относительно прямой (оси), соединяющий отрезок перпендикулярен оси.
• При центральной симметрии точки симметричны относительно точки (центра), центр — середина соединяющего отрезка, а не обязательно перпендикулярен ничему.

Прямая AA′ при центральной симметрии может проходить через центр O под любым углом — направление не важно, важна лишь середина отрезка. При осевой симметрии, наоборот, направление отрезка AA′ строго задано — только перпендикулярно оси.

Фигуры с центральной симметрией

Фигура обладает центральной симметрией, если для каждой её точки симметричная относительно центра точка тоже принадлежит фигуре.

• Параллелограмм — центр симметрии в точке пересечения диагоналей (диагонали делятся этой точкой пополам).
• Окружность — центр симметрии в центре окружности.
• Отрезок — центр симметрии в его середине.

Фигуры без центральной симметрии

• Равносторонний треугольник — не имеет центра симметрии (при повороте на 180° вокруг любой точки треугольник не совпадает сам с собой).
• Произвольная трапеция (не параллелограмм) — тоже не имеет центра симметрии.

Мини-практика

1. Точка A в 7 см от центра O. На каком расстоянии от O находится A′? — 7 см (по определению AO = OA′).
2. Что является центром симметрии параллелограмма? — точка пересечения диагоналей.
3. Есть ли центр симметрии у равностороннего треугольника? — нет.
4. Чем отличается центральная симметрия от осевой? — при центральной симметричные точки равноудалены от точки (центра), а при осевой — от прямой (оси).
5. Точка A и точка A′ симметричны относительно O, AO = 3 см. Чему равна длина AA′? — 6 см (AO + OA′ = 3 + 3).