Осевая симметрия

Определение

Точки A и A′ называются симметричными относительно прямой m (оси симметрии), если:

• отрезок AA′ перпендикулярен прямой m,
• обе точки находятся на равном расстоянии от прямой m (по разные стороны от неё).

Если точка лежит на самой оси m, она считается симметричной сама себе.

Пример: точка A находится в 4 см от оси m слева. Тогда симметричная ей точка A′ находится в 4 см от оси m справа, на том же перпендикуляре к m.

Построение симметричной точки

Чтобы построить точку, симметричную точке A относительно прямой m:

1. Из точки A опускаем перпендикуляр на прямую m — получаем точку пересечения O.
2. Измеряем расстояние AO.
3. На продолжении перпендикуляра за точку O откладываем такое же расстояние OA′ = AO — получаем точку A′.

Пример: A на расстоянии 3 см от m по перпендикуляру. Значит, точка пересечения перпендикуляра с m — точка O, и A′ находится по другую сторону от m на том же перпендикуляре на расстоянии 3 см от O.

Фигура, симметричная относительно оси

Фигура называется симметричной относительно прямой m, если для каждой её точки симметричная ей точка (относительно m) тоже принадлежит этой фигуре.

Примеры симметричных фигур и букв

• Равнобедренный треугольник — ось симметрии проходит через вершину и середину основания.
• Квадрат — имеет 4 оси симметрии (2 диагонали и 2 средние линии).
• Круг — имеет бесконечно много осей симметрии (любая прямая через центр).
• Буквы: А, М, Т, Ш, Ф — симметричны относительно вертикальной оси; буквы Е, Ж, Н, О — относительно горизонтальной или обеих осей.

Несимметричные буквы: Б, Г, Р, У — не имеют оси симметрии.

Мини-практика

1. Точка B находится в 6 см от оси m. На каком расстоянии от m находится симметричная ей точка B′? — 6 см (равное расстояние по определению).
2. Какой отрезок соединяет симметричные точки относительно оси? — отрезок, перпендикулярный оси.
3. Сколько осей симметрии у квадрата? — 4 (две диагонали и две средние линии).
4. Симметрична ли буква Р относительно вертикальной оси? — нет, у буквы Р нет оси симметрии.
5. Точка лежит прямо на оси симметрии. Где находится её симметричный образ? — в той же точке (расстояние до оси равно 0).