Деление с остатком

Формула деления с остатком

Если число a не делится на число b нацело, его делят с остатком: a = b × q + r, где q — неполное частное, r — остаток, причём 0 ≤ r < b (остаток всегда меньше делителя).

Пример: 47 ÷ 5. Ближайшее произведение, не превышающее 47: 5 × 9 = 45. Тогда 47 = 5 × 9 + 2, то есть q = 9, r = 2.

Проверка: 5 × 9 + 2 = 45 + 2 = 47 — совпадает, и остаток 2 меньше делителя 5.

Ещё примеры

100 ÷ 7. 7 × 14 = 98, остаток 100 − 98 = 2. Значит 100 = 7 × 14 + 2 (q = 14, r = 2).

53 ÷ 6. 6 × 8 = 48, остаток 53 − 48 = 5. Значит q = 8, r = 5. Проверка: 6 × 8 + 5 = 53, и остаток 5 меньше делителя 6.

200 ÷ 9. 9 × 22 = 198, остаток 200 − 198 = 2. Значит q = 22, r = 2.

Связь с делимостью нацело

Если остаток r = 0, число делится на b без остатка (это и есть обычная делимость). Например, 258 ÷ 6 = 43 (остаток 0) — значит 258 делится на 6 нацело. А 158 ÷ 6 = 26 остаток 2 (6 × 26 = 156, 158 − 156 = 2) — значит 158 на 6 не делится нацело.

Как найти неполное частное

Нужно подобрать наибольшее q, при котором b × q ещё не превышает a. Например, для 158 ÷ 6: 6 × 26 = 156 ≤ 158, а 6 × 27 = 162 > 158 — значит q = 26, и остаток 158 − 156 = 2.

Мини-практика

1. Раздели 53 на 6 с остатком. — q=8, r=5 (6×8=48, 53−48=5).
2. Раздели 200 на 9 с остатком. — q=22, r=2 (9×22=198, 200−198=2).
3. Раздели 47 на 5 с остатком. — q=9, r=2 (5×9=45, 47−45=2).
4. Раздели 100 на 7 с остатком. — q=14, r=2 (7×14=98, 100−98=2).
5. Может ли остаток при делении на 6 быть равен 7? — нет, остаток всегда меньше делителя (0 ≤ r < 6).