Наибольший общий делитель (НОД)

Делитель числа

Делитель числа a — это число, на которое a делится без остатка. Например, делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Что такое НОД

НОД двух чисел — наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка. Находят через разложение на простые множители: раскладывают оба числа, берут общие простые множители в наименьшей степени и перемножают.

Полное решение для 24 и 36

Разложение на простые множители: - 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3 - 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

НОД(24, 36): общие множители — 2 и 3. Берём в меньшей степени: 2² и 3¹. НОД = 2² × 3 = 4 × 3 = 12.

Проверка: 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3 — оба делятся без остатка, а больше 12 общего делителя нет.

Ещё один пример: 18 и 30

18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5.

Общие множители — 2 и 3 (у 18 есть 3², у 30 только 3¹, берём меньшую степень 3¹). НОД = 2 × 3 = 6.

Пример: 16 и 24

16 = 2⁴, 24 = 2³ × 3. Общий множитель — только 2, берём в меньшей степени: 2³ = 8. Значит НОД(16, 24) = 8.

Пример с числами без общих множителей 2 и 3: 9 и 15

9 = 3², 15 = 3 × 5. Общий множитель — 3, в меньшей степени 3¹. НОД(9, 15) = 3.

Мини-практика

1. Назови все делители числа 20. — 1, 2, 4, 5, 10, 20.
2. Найди НОД(24, 36). — 12 (2²×3, проверено разложением).
3. Найди НОД(16, 24). — 8 (16 = 2⁴, 24 = 2³×3, общий множитель в меньшей степени 2³ = 8).
4. Найди НОД(18, 30). — 6 (18 = 2×3², 30 = 2×3×5, общие 2×3=6).
5. Найди НОД чисел 9 и 15. — 3 (9 = 3², 15 = 3×5, общий множитель 3).