Свойства сложения и умножения натуральных чисел

Переместительное свойство

При сложении и умножении можно менять порядок чисел — результат не изменится:

• a + b = b + a: 37 + 58 = 95 и 58 + 37 = 95.
• a × b = b × a: 24 × 5 = 120 и 5 × 24 = 120.

Для вычитания и деления это свойство не работает: 58 − 37 = 21, а 37 − 58 нельзя посчитать в натуральных числах. Точно так же 15 ÷ 3 = 5, а 3 ÷ 15 не даёт натурального числа.

Сочетательное свойство

При сложении и умножении числа можно группировать по-разному:

• (a + b) + c = a + (b + c): (15 + 25) + 40 = 40 + 40 = 80, и 15 + (25 + 40) = 15 + 65 = 80.
• (a × b) × c = a × (b × c): (4 × 5) × 6 = 20 × 6 = 120, и 4 × (5 × 6) = 4 × 30 = 120.

Это удобно для устного счёта: 25 × 37 × 4 считаем как 25 × 4 × 37 = 100 × 37 = 3700 — сгруппировали множители так, чтобы получить круглое число.

Распределительное свойство умножения

Умножение числа на сумму равно сумме произведений: a × (b + c) = a × b + a × c.

Пример: 6 × (20 + 7) = 6 × 20 + 6 × 7 = 120 + 42 = 162. Проверка напрямую: 6 × 27 = 162 — совпало.

Работает и для вычитания: a × (b − c) = a × b − a × c. Пример: 8 × (30 − 2) = 8 × 30 − 8 × 2 = 240 − 16 = 224 (проверка: 8 × 28 = 224).

Зачем нужны эти свойства

Свойства позволяют считать быстрее и проверять себя. Например, 9 × 40 + 9 × 6 удобнее сначала свернуть в 9 × (40 + 6) = 9 × 46 = 414 — так меньше действий.

Мини-практика

1. Вычисли удобным способом: 4 × 17 × 25. — 1700 (4 × 25 = 100, 100 × 17 = 1700, использовано сочетательное свойство).
2. Раскрой скобки: 9 × (40 + 6). — 414 (9 × 40 + 9 × 6 = 360 + 54 = 414, распределительное свойство).
3. Верно ли, что 15 − 8 = 8 − 15? — неверно, вычитание не переместительно (15 − 8 = 7, а 8 − 15 в натуральных числах не считается).
4. Сверни в общий множитель и вычисли: 7 × 23 + 7 × 7. — 210 (7 × (23 + 7) = 7 × 30 = 210).
5. Какое свойство используется в переходе (12 × 5) × 2 = 12 × (5 × 2)? — сочетательное свойство умножения.